Analisis Kesalahan Edgesforextendedlayout

Semua pengukuran, termasuk pengukuran ultrasonik, betapapun hati-hati dan ilmiahnya, tunduk pada beberapa ketidakpastian. Analisis kesalahan adalah studi dan evaluasi ketidakpastian ini dua fungsi utamanya adalah membiarkan praktisi memperkirakan berapa besar ketidakpastian dan untuk membantunya menguranginya bila diperlukan. Karena ultrasonik bergantung pada pengukuran, evaluasi dan minimisasi ketidakpastian sangat penting. Dalam sains kata kesalahan tidak berarti kesalahan atau kesalahan melainkan ketidakpastian yang tak terelakkan dari semua pengukuran. Karena mereka tidak bisa dihindari, kesalahan dalam konteks ini tidak, secara tegas, kesalahan. Paling banter, mereka bisa dibuat sekecil mungkin, dan ukurannya bisa diperkirakan dengan andal. Untuk menggambarkan kejadian ketidakpastian yang tak terelakkan seputar usaha pengukuran, marilah kita mempertimbangkan seorang tukang kayu yang harus mengukur tinggi ambang pintu ke lemari besi sinar-X untuk memasang sebuah pintu. Sebagai pengukuran kasar pertama, dia mungkin hanya melihat ke pintu dan memperkirakan tingginya 210 cm. Pengukuran kasar ini tentu saja tunduk pada ketidakpastian. Jika ditekan, tukang kayu bisa mengungkapkan ketidakpastian ini dengan mengakui bahwa tingginya bisa hanya 205 atau sebanyak 215 cm. Jika dia menginginkan pengukuran yang lebih akurat, dia akan menggunakan pita pengukur, dan dia mungkin mendapati bahwa tingginya adalah 211,3 cm. Pengukuran ini tentu lebih tepat daripada perkiraan awalnya, namun jelas masih mengalami ketidakpastian, karena tidak dapat diketahui bahwa dia bisa mengetahui ketinggiannya tepatnya 211.3000 daripada 211.3001 cm, misalnya. Ada banyak alasan untuk ketidakpastian yang tersisa ini. Beberapa penyebab ketidakpastian ini dapat dihapus jika perawatan cukup dilakukan. Sebagai contoh, satu sumber ketidakpastian mungkin adalah bahwa pencahayaan yang buruk membuat sulit untuk membaca rekaman ini dapat diperbaiki dengan pencahayaan yang lebih baik. Di sisi lain, beberapa sumber ketidakpastian bersifat intrinsik terhadap proses pengukuran dan tidak dapat sepenuhnya dihapus. Misalnya, misalkan tape tukang kayu dilipat setengah sentimeter. Bagian atas pintu mungkin tidak sesuai persis dengan salah satu tanda setengah sentimeter, dan jika tidak, maka tukang kayu harus memperkirakan di mana bagian atasnya terletak di antara dua tanda. Bahkan jika bagian atas terjadi bertepatan dengan salah satu tanda itu, tanda itu sendiri mungkin berukuran milimeter, jadi dia harus memperkirakan di mana bagian paling atas berada dalam tanda itu. Bagaimanapun, tukang kayu pada akhirnya harus memperkirakan di mana bagian atas pintu terletak relatif terhadap tanda pada pitanya, dan kebutuhan ini menyebabkan beberapa ketidakpastian dalam jawabannya. Dengan membeli rekaman yang lebih baik dengan tanda yang lebih dekat dan lebih baik, tukang kayu bisa mengurangi ketidakpastiannya, tapi dia tidak bisa menghilangkannya sepenuhnya. Jika dia terobsesi dengan obsesif untuk menemukan ketinggian pintu dengan ketepatan paling tinggi yang mungkin secara teknis, dia bisa membeli interferometer laser mahal. Tetapi bahkan ketepatan interferometer terbatas pada jarak pada urutan panjang gelombang cahaya (sekitar 0,000005 meter). Meski sekarang dia bisa mengukur tinggi dengan presisi yang fantastis, dia tetap tidak tahu tinggi ambang pintu. Selanjutnya, karena tukang kayu berusaha untuk mendapatkan ketepatan yang lebih tinggi, dia akan menghadapi masalah prinsip yang penting. Dia pasti akan menemukan bahwa ketinggiannya berbeda di tempat yang berbeda. Bahkan di satu tempat, dia akan mendapati bahwa tinggi badan bervariasi jika suhu dan kelembabannya bervariasi, atau bahkan jika dia secara tidak sengaja menggosok lapisan tipis kotoran. Dengan kata lain, dia akan menemukan bahwa tidak ada yang namanya ketinggian tepat di ambang pintu. Masalah seperti ini disebut masalah definisi (tinggi pintunya tidak didefinisikan dengan baik dan memegang peranan penting dalam banyak pengukuran ilmiah). Pengalaman tukang kayu kami menggambarkan apa yang sebenarnya terjadi pada umumnya. Tidak ada kuantitas fisik (ketebalan, waktu antara gema pulsa, posisi transduser, dll.) Dapat diukur dengan kepastian yang lengkap. Dengan hati-hati, kita mungkin bisa mengurangi ketidakpastian sampai mereka sangat kecil, tapi untuk menghilangkannya sama sekali tidak mungkin. Dalam pengukuran sehari-hari biasanya kita tidak repot-repot mendiskusikan ketidakpastian. Terkadang ketidakpastian itu tidak menarik. Jika kita mengatakan bahwa jarak antara rumah dan sekolah adalah 3 mil, tidak masalah (untuk sebagian besar tujuan) apakah ini berarti di suatu tempat antara 2,5 dan 3,5 mil atau di suatu tempat antara 2,99 dan 3,01 mil. Seringkali ketidakpastian itu penting, namun bisa diijinkan secara instingtif dan tanpa pertimbangan eksplisit. Ketika tukang kayu kami masuk ke pintu rumahnya, dia harus tahu ketinggiannya dengan ketidakpastian yang kurang dari 1 mm atau lebih. Namun, selama ketidakpastiannya kecil, pintu akan (untuk semua keperluan praktis) menjadi sangat cocok, sinar-x tidak akan bocor, dan kekhawatirannya akan analisis kesalahan akan berakhir. Kesalahan Eksperimental dan Bab ini Sebagian besar merupakan tutorial tentang penanganan kesalahan pengukuran eksperimental. Sebagian besar materi telah diuji secara ekstensif dengan sarjana sains di berbagai tingkat di University of Toronto. Seluruh buku bisa dan telah ditulis mengenai topik ini tapi di sini kita menyaring topik sampai hal yang hakiki. Meskipun demikian, pengalaman kami adalah bahwa bagi pemula, pendekatan berulang untuk materi ini paling sesuai. Ini berarti bahwa pengguna pertama-tama memindai materi di bab ini kemudian mencoba menggunakan materi pada percobaan mereka sendiri lalu membahas materi itu lagi. EDA menyediakan fungsi untuk memudahkan perhitungan yang dibutuhkan oleh propagasi kesalahan, dan fungsi tersebut diperkenalkan pada Bagian 3.3. Fungsi propagasi error ini dirangkum dalam Bagian 3.5. 3.1.1 Tujuan Analisis Kesalahan Bagi siswa yang hanya menghadiri kuliah dan membaca buku teks dalam sains, mudah untuk mendapatkan kesan salah bahwa ilmu fisika berkaitan dengan manipulasi angka yang tepat dan sempurna. Ceramah dan buku teks seringkali mengandung ungkapan-ungkapan seperti: Partikel yang jatuh di bawah pengaruh gravitasi dikenai percepatan konstan sebesar 9,8 m. Jika. Bagi ilmuwan eksperimental spesifikasi ini tidak lengkap. Apakah itu berarti akselerasi mendekati 9.8 daripada 9.9 atau 9.7 Apakah ini berarti akselerasi mendekati 9.80000 daripada 9.80001 atau 9.79999 Seringkali jawabannya tergantung pada konteksnya. Jika seorang tukang kayu mengatakan bahwa panjangnya hanya 8 inci yang mungkin berarti panjangnya mendekati 8 016 in daripada 8 116 in atau 7 1516 in. Jika seorang masinis mengatakan bahwa panjangnya hanya 200 milimeter yang mungkin berarti lebih dekat ke 200,00 mm dari pada 200,05 mm atau 199,95 mm. Kita semua tahu bahwa akselerasi akibat gravitasi bervariasi dari satu tempat ke tempat lain di permukaan bumi. Hal ini juga bervariasi dengan ketinggian di atas permukaan, dan meteran gravitasi yang mampu mengukur variasi dari lantai ke meja tersedia. Selanjutnya, setiap ukuran fisik seperti g hanya dapat ditentukan dengan menggunakan percobaan, dan karena alat eksperimen sempurna tidak ada, tidak mungkin bahkan pada prinsipnya untuk mengetahui secara sempurna. Dengan demikian, spesifikasi g yang diberikan di atas berguna hanya sebagai latihan yang mungkin bagi seorang siswa. Untuk memberikan beberapa arti, itu harus diubah menjadi seperti: Bantalan bola 5 g jatuh di bawah pengaruh gravitasi di Kamar 126 Laboratorium Fisik McLennan dari Universitas Toronto pada tanggal 13 Maret 1995 pada jarak 1,0 plus 0,1 M di atas lantai diukur untuk dikenakan percepatan konstan 9,81 plus 0,0 0,0 m. Dua pertanyaan muncul tentang pengukuran. Pertama, apakah akurat, dengan kata lain, apakah eksperimen berjalan dengan baik dan semua faktor penting diperhitungkan Jawabannya tergantung pada keahlian eksperimen dalam mengidentifikasi dan menghilangkan semua kesalahan sistematis. Ini dibahas pada Bagian 3.4. Pertanyaan kedua menyangkut ketepatan eksperimen. Dalam hal ini ketepatan hasil diberikan: eksperimen mengklaim ketepatan hasil dalam 0,03 ms. Dua bagian berikutnya membahas beberapa detail tentang bagaimana ketepatan pengukuran ditentukan. Namun, hal-hal berikut penting: 1. Orang yang melakukan pengukuran mungkin memiliki beberapa firasat untuk presisi dan menunda kesalahan pada hasilnya terutama untuk mengkomunikasikan perasaan ini kepada orang lain. Akal sehat harus selalu didahulukan daripada manipulasi matematis. 2. Dalam eksperimen yang rumit, analisis kesalahan dapat mengidentifikasi kesalahan yang dominan dan karenanya memberikan panduan mengenai upaya lebih banyak dibutuhkan untuk memperbaiki percobaan. 3. Hampir tidak ada kasus dalam ilmu fisika eksperimental dimana analisis kesalahan yang benar adalah membandingkan hasilnya dengan angka di beberapa buku. Percobaan yang benar adalah eksperimen yang dilakukan dengan benar, bukan yang memberi hasil sesuai dengan pengukuran lainnya. 4. Kemungkinan terbaik untuk eksperimen tertentu selalu dibatasi oleh peralatan. Pengukuran polarisasi dalam fisika berenergi tinggi memerlukan puluhan ribu jam kerja dan menghabiskan ratusan ribu dolar untuk dilakukan, dan pengukuran yang baik adalah faktor dua. Eksperimen elektrodinamika jauh lebih murah, dan sering memberi hasil pada 8 atau lebih angka signifikan. Dalam kedua kasus tersebut, eksperimen harus berjuang dengan peralatan untuk mendapatkan pengukuran yang tepat dan akurat. 3.1.2 Berbagai Jenis Kesalahan Seperti disebutkan di atas, ada dua jenis kesalahan yang terkait dengan hasil eksperimen: presisi dan keakuratannya. Salah satu teks yang terkenal menjelaskan perbedaannya dengan cara ini: Ketepatan kata akan terkait dengan distribusi kesalahan acak yang terkait dengan eksperimen tertentu atau bahkan dengan jenis percobaan tertentu. Ketepatan kata harus dikaitkan dengan adanya kesalahan sistematis yang menunjukkan perbedaan antara laboratorium, misalnya. Misalnya, seseorang bisa melakukan timing yang sangat presisi namun tidak akurat dengan jam pendulum berkualitas tinggi yang memiliki pendulum yang disetel dengan panjang tidak tepat. E. M. Pugh dan G. H. Winslow, hal. 6. Objek percobaan yang baik adalah meminimalkan kesalahan presisi dan kesalahan akurasi. Biasanya, percobaan yang diberikan memiliki satu atau jenis kesalahan lainnya yang dominan, dan eksperimen tersebut mencurahkan sebagian besar usaha untuk mengurangi yang satu itu. Sebagai contoh, dalam mengukur tinggi sampel geranium untuk menentukan nilai rata-rata, variasi acak dalam sampel tanaman mungkin akan jauh lebih besar daripada kemungkinan ketidakakuratan dalam penguasa yang digunakan. Demikian pula untuk banyak eksperimen dalam ilmu biologi dan kehidupan, eksperimen sangat memperdebatkan peningkatan ketepatan pengukurannya. Tentu saja, beberapa percobaan dalam ilmu biologi dan kehidupan didominasi oleh kesalahan akurasi. Di sisi lain, dalam memberi titrasi sampel asam HCl dengan basis NaOH menggunakan indikator fenolftalein, kesalahan utama dalam penentuan konsentrasi asam asli adalah salah satu dari yang berikut: (1) keakuratan tanda-tanda Di sisi buret (2) rentang transisi indikator fenolftalein atau (3) keterampilan eksperimen dalam memisahkan tetes terakhir NaOH. Dengan demikian, ketepatan penentuannya cenderung jauh lebih buruk daripada presisi. Hal ini sering terjadi pada percobaan kimia, tapi pastinya tidak semua. Pertanyaan: Sebagian besar eksperimen menggunakan rumus teoritis, dan biasanya rumus tersebut adalah perkiraan. Apakah kesalahan pendekatan salah satu presisi atau akurasi Ada literatur yang ekstensif tentang topik dalam bab ini. Berikut daftar beberapa perkenalan yang terkenal. D. C. Baird, Experimentation: Pengantar Teori Pengukuran dan Desain Percobaan (Prentice-Hall, 1962) E. M. Pugh and G. H. Winslow, Analisis Pengukuran Fisik (Addison-Wesley, 1966) JR Taylor, Pengantar Analisis Kesalahan (University Science Books, 1982) Selain itu, ada dokumen web yang ditulis oleh penulis EDA yang digunakan untuk mengajarkan topik ini. Ke tahun pertama sarjana Fisika di University of Toronto. Hyperlink berikut menunjuk ke dokumen itu. 3.2 Menentukan Presisi 3.2.1 Deviasi Standar Pada abad kesembilan belas, asisten Gauss melakukan pengukuran astronomi. Namun, mereka tidak pernah bisa mengulangi hasilnya dengan tepat. Akhirnya, Gauss marah dan menyerbu ke laboratorium, mengklaim bahwa dia akan menunjukkan kepada orang-orang ini bagaimana melakukan pengukuran sekali dan untuk selamanya. Satu-satunya masalah adalah bahwa Gauss tidak dapat mengulangi pengukurannya dengan tepat. Setelah dia menemukan ketenangannya, Gauss membuat histogram hasil pengukuran tertentu dan menemukan kurva Gaussian atau lonceng yang terkenal. Banyak orang yang pertama mengenalkan bentuk ini adalah distribusi kelas untuk kursus. Berikut adalah contoh distribusi seperti itu, dengan menggunakan fungsi EDA EDAHistogram. Kami menggunakan paket Mathematica standar untuk menghasilkan Probability Distribution Function (PDF) seperti distribusi Gaussian atau normal. Rata-rata dipilih menjadi 78 dan standar deviasi dipilih menjadi 10 mean dan standar deviasi didefinisikan di bawah ini. Kami kemudian menormalkan distribusi sehingga nilai maksimum mendekati jumlah maksimum dalam histogram dan plot hasilnya. Dalam grafik ini, adalah mean dan standar deviasi. Akhirnya, kita melihat histogram dan plotnya bersama. Kita bisa melihat bentuk fungsional dari distribusi Gaussian dengan memberikan nilai simbolik NormalDistribusi. Dalam rumus ini, kuantitasnya disebut mean. Dan disebut standar deviasi. Rata-rata kadang disebut rata-rata. Definisinya adalah sebagai berikut. Berikut ini adalah jumlah total pengukuran dan xi adalah hasil dari pengukuran nomor i. Deviasi standar adalah ukuran lebar puncak, yang berarti bahwa nilai yang lebih besar memberikan puncak yang lebih luas. Jika kita melihat area di bawah kurva dari - ke, area antara palang vertikal pada grafik gaussPlot, kita menemukan bahwa daerah ini adalah 68 persen dari total luas area. Jadi, setiap hasil yang dipilih secara acak memiliki 68 perubahan dalam satu standar deviasi mean. Kita bisa menunjukkannya dengan mengevaluasi integral. Untuk kenyamanan, kita memilih mean menjadi nol. Sekarang, kita menghitung angka ini dan kalikan dengan 100 untuk menemukan persennya. Satu-satunya masalah dengan hal di atas adalah bahwa pengukuran harus diulang beberapa kali sebelum standar deviasi dapat ditentukan. Jika n kurang dari tak terhingga, seseorang hanya bisa memperkirakan. Untuk n pengukuran, ini adalah perkiraan terbaik. Perbedaan utama antara perkiraan ini dan definisinya adalah pada penyebut dan bukan n. Ini masuk akal karena jika kita tahu kita tidak dapat menentukan sama sekali karena dengan hanya satu pengukuran, kita tidak memiliki cara untuk menentukan seberapa dekat pengukuran berulang dapat memberikan hasil yang sama. Secara teknis, jumlahnya adalah jumlah derajat kebebasan sampel pengukuran. Inilah contohnya. Misalkan kita harus menentukan diameter silinder kecil menggunakan mikrometer. Kami mengulang pengukuran 10 kali sepanjang berbagai titik pada silinder dan mendapatkan hasil berikut, dalam sentimeter. Jumlah pengukuran adalah panjang daftar. Rata-rata atau rata-rata sekarang dihitung. Kemudian deviasi standar diperkirakan sebesar 0.00185173. Kami ulangi perhitungan dengan gaya fungsional. Perhatikan bahwa paket StatistikDescriptiveStatistics, yang standar dengan Mathematica. Termasuk fungsi untuk menghitung semua jumlah ini dan lebih banyak lagi. Kami menutup dengan dua poin: 1. Deviasi standar telah dikaitkan dengan kesalahan pada setiap pengukuran individu. Bagian 3.3.2 membahas bagaimana menemukan kesalahan dalam perkiraan rata-rata. 2. Perhitungan standar deviasi ini hanya perkiraan. Sebenarnya, kita dapat menemukan perkiraan kesalahan dalam perkiraan,, (kesalahan dalam perkiraan). Seperti yang dibahas lebih rinci di Bagian 3.3, ini berarti bahwa penyimpangan standar sebenarnya mungkin terletak pada kisaran nilai. Dilihat dengan cara ini, jelas bahwa beberapa digit terakhir di angka di atas atau tidak memiliki arti, dan karenanya tidak terlalu signifikan. Fungsi EDA menyesuaikan angka signifikan ini berdasarkan kesalahan. AdjustSignificantFigures dibahas lebih lanjut dalam Bagian 3.3.1. 3.2.2 Kesalahan Membaca Ada jenis kesalahan lain yang terkait dengan kuantitas yang diukur secara langsung, yang disebut kesalahan pembacaan. Mengacu lagi pada contoh Bagian 3.2.1, pengukuran diameter dilakukan dengan mikrometer. Mikrometer tertentu yang digunakan memiliki pembelahan skala setiap 0,001 cm. Namun, ada kemungkinan untuk memperkirakan pembacaan mikrometer antara divisi, dan ini dilakukan dalam contoh ini. Tapi, ada kesalahan membaca yang terkait dengan estimasi ini. Sebagai contoh, titik data pertama adalah 1.6515 cm. Mungkinkah sudah 1,6516 cm, gantinya Bagaimana dengan 1,6519 cm Tidak ada aturan tetap untuk menjawab pertanyaan: orang yang melakukan pengukuran harus menebak seberapa baik dia dapat membaca instrumennya. Tebak yang masuk akal dari kesalahan membaca mikrometer ini mungkin 0.0002 cm pada hari yang baik. Jika eksperimennya sampai larut malam sebelumnya, kesalahan pembacaannya mungkin 0,0005 cm. Pertanyaan yang penting dan terkadang sulit adalah apakah kesalahan membaca suatu instrumen didistribusikan secara acak. Kesalahan membaca secara acak disebabkan oleh ketepatan percobaan yang terbatas. Jika eksperimen secara konsisten membaca mikrometer 1 cm lebih rendah dari nilai sebenarnya, kesalahan pembacaan tidak acak. Untuk instrumen digital, kesalahan membaca ditambah satu setengah digit terakhir. Perhatikan bahwa ini mengasumsikan bahwa instrumen telah direkayasa dengan benar untuk memutar bacaan dengan benar di layar. Sejauh ini, kami telah menemukan dua kesalahan yang berbeda yang terkait dengan kuantitas yang diukur secara langsung: standar deviasi dan kesalahan pembacaan. Jadi, mana yang sebenarnya adalah kesalahan sebenarnya dari ketepatan dalam kuantitas. Jawabannya adalah keduanya. Namun, untungnya hampir selalu ternyata yang satu akan lebih besar dari yang lain, jadi yang lebih kecil dari keduanya bisa diabaikan. Dalam contoh diameter yang digunakan pada bagian ini, perkiraan standar deviasi ditemukan 0,00185 cm, sedangkan kesalahan pembacaannya hanya 0,0002 cm. Dengan demikian, kita dapat menggunakan estimasi deviasi standar untuk mengkarakterisasi kesalahan pada setiap pengukuran. Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa penyebaran nilai yang diamati dalam contoh ini tidak diperhitungkan oleh kesalahan pembacaan. Jika penyebaran yang diamati kurang lebih dicatat oleh kesalahan pembacaan, maka tidak perlu untuk memperkirakan standar deviasi, karena kesalahan pembacaan akan menjadi kesalahan pada setiap pengukuran. Tentu saja, segala sesuatu di bagian ini terkait dengan ketepatan eksperimen. Pembahasan keakuratan percobaan ada pada Bagian 3.4. 3.2.4 Penolakan Pengukuran Seringkali saat mengulangi pengukuran, satu nilai tampaknya palsu dan kami ingin membuangnya. Juga, ketika mengambil serangkaian pengukuran, terkadang satu nilai tampak tidak sesuai. Di sini kita membahas beberapa panduan tentang penolakan pengukuran informasi lebih lanjut yang muncul di Bab 7. Penting untuk menekankan bahwa keseluruhan topik penolakan pengukuran itu tidak tepat. Beberapa ilmuwan merasa bahwa penolakan data tidak pernah dibenarkan kecuali ada bukti eksternal bahwa data yang dimaksud salah. Ilmuwan lain berusaha mengatasi topik ini dengan menggunakan aturan kuasi-obyektif seperti Kriteria Chauvenet. Yang lain, sering salah, membuang data apa pun yang tampaknya salah. Pada bagian ini, beberapa prinsip dan pedoman disajikan informasi lebih lanjut dapat ditemukan dalam banyak referensi. Pertama, kami mencatat bahwa tidak benar mengharapkan setiap pengukuran saling tumpang tindih dalam kesalahan. Misalnya, jika kesalahan dalam kuantitas tertentu dicirikan oleh standar deviasi, kita hanya mengharapkan 68 pengukuran dari populasi terdistribusi normal berada dalam satu standar deviasi mean. Sembilan puluh lima persen pengukuran akan berada dalam dua standar deviasi, 99 dalam tiga standar deviasi, dan lain-lain, namun kami tidak pernah mengharapkan 100 pengukuran untuk tumpang tindih dalam kesalahan berukuran terbatas untuk distribusi Gaussian yang sesungguhnya. Tentu saja, untuk sebagian besar eksperimen, asumsi distribusi Gaussian hanyalah perkiraan. Jika kesalahan dalam setiap pengukuran dianggap sebagai kesalahan pembacaan, sekali lagi kita hanya mengharapkan sebagian besar, tidak semua, pengukuran untuk tumpang tindih dalam kesalahan. Dalam hal ini arti sebagian besar, bagaimanapun, adalah tidak jelas dan tergantung pada optimismeonservatisme dari eksperimen yang menugaskan kesalahan tersebut. Jadi, selalu berbahaya membuang pengukuran. Mungkin kita cukup beruntung untuk membuat pengukuran yang valid yang terletak sepuluh standar deviasi dari mean populasi. Pengukuran yang valid dari ekor distribusi yang mendasar seharusnya tidak dilempar keluar. Lebih berbahaya lagi membuang titik tersangka yang menunjukkan proses fisik yang mendasarinya. Ilmu pengetahuan yang sangat kecil akan diketahui hari ini jika eksperimen selalu membuang pengukuran yang tidak sesuai dengan harapan sebelumnya. Secara umum, ada dua jenis data eksperimental yang diambil di laboratorium dan pertanyaan untuk menolak pengukuran ditangani dengan cara yang sedikit berbeda untuk masing-masing. Dua jenis data tersebut adalah sebagai berikut: 1. Serangkaian pengukuran yang dilakukan dengan satu atau lebih variabel berubah untuk setiap titik data. Contohnya adalah kalibrasi termokopel, di mana tegangan keluaran diukur saat termokopel berada pada sejumlah temperatur yang berbeda. 2. Pengukuran berulang dari jumlah fisik yang sama, dengan semua variabel tetap sesering mungkin. Contohnya adalah pengukuran tinggi sampel geranium yang tumbuh dalam kondisi yang sama dari batch benih yang sama. Untuk serangkaian pengukuran (kasus 1), bila salah satu titik data tidak sesuai, kecenderungan alami adalah membuangnya. Tapi, seperti telah disebutkan, ini berarti Anda mengasumsikan hasil yang ingin Anda ukur. Sebagai aturan praktis, kecuali ada penjelasan fisik mengapa nilai tersangka palsu dan tidak lebih dari tiga standar deviasi dari nilai yang diharapkan, mungkin harus disimpan. Bab 7 membahas lebih lanjut kasus ini. Untuk pengukuran berulang (case 2), situasinya sedikit berbeda. Katakanlah Anda mengukur waktu pendulum untuk mengalami 20 osilasi dan Anda mengulang pengukuran lima kali. Asumsikan bahwa empat dari percobaan ini masing-masing dalam 0,1 detik, namun percobaan kelima berbeda dari 1,4 detik (yaitu lebih dari tiga standar deviasi dari rata-rata nilai bagus). Tidak ada alasan mengapa pengukuran yang satu berbeda dari yang lainnya. Meskipun demikian, Anda mungkin dibenarkan untuk membuangnya. Katakan itu, tidak Anda ketahui, tepat saat pengukuran itu dilakukan, gelombang gravitasi menyapu wilayah ruangwaktu Anda. Namun, jika Anda mencoba mengukur periode pendulum saat tidak ada gelombang gravitasi yang mempengaruhi pengukuran, maka buanglah satu hasil yang masuk akal. (Meski mencoba mengulang pengukuran untuk mengetahui adanya gelombang gravitasi tentu akan lebih menyenangkan) Jadi apapun alasan untuk nilai tersangka, aturan praktisnya adalah bahwa ia dapat dilemparkan asalkan fakta terdokumentasi dengan baik dan pengukurannya. Diulang beberapa kali lebih banyak untuk meyakinkan eksperimen bahwa heshe tidak membuang sepotong data penting yang menunjukkan proses fisik baru. 3.3 Perbanyakan Kesalahan Presisi 3.3.1 Diskusi dan Contoh Biasanya, kesalahan presisi bersifat probabilistik. Ini berarti bahwa eksperimen tersebut mengatakan bahwa nilai sebenarnya dari beberapa parameter mungkin berada dalam kisaran yang ditentukan. Misalnya, jika lebar setengah lebar dari kisaran sama dengan satu standar deviasi, maka probabilitasnya adalah sekitar 68 bahwa selama eksperimen berulang, mean sebenarnya akan berada dalam kisaran jika kisaran setengah lebar adalah dua kali deviasi standar, probabilitas Adalah 95, dll. Jika kita memiliki dua variabel, misalkan x dan y. Dan ingin menggabungkannya untuk membentuk variabel baru, kami ingin kesalahan dalam kombinasi untuk mempertahankan probabilitas ini. Prosedur yang benar untuk melakukan ini adalah menggabungkan kesalahan dalam kuadratur, yang merupakan akar kuadrat dari jumlah kuadrat. EDA memasok fungsi Quadrature. Untuk kombinasi data sederhana dengan kesalahan acak, prosedur yang benar dapat diringkas dalam tiga aturan. X, y, z akan berdiri untuk kesalahan presisi dalam x. Y. Dan z. Masing-masing. Kita berasumsi bahwa x dan y saling bergantung satu sama lain. Perhatikan bahwa ketiga aturan tersebut mengasumsikan bahwa kesalahannya, misalkan x. Kecil dibandingkan dengan nilai x. Aturan 1: Multiplikasi dan Divisi EDA mencakup fungsi untuk menggabungkan data dengan menggunakan peraturan di atas. Mereka diberi nama TimesWithError. PlusWithError. BagilahWithError. Kurangi. Dan PowerWithError. Bayangkan kita memiliki data tekanan, diukur dalam sentimeter dari Hg, dan data volume diukur dalam satuan acak. Setiap titik data terdiri dari nilai. Pasang kesalahan Kami menghitung tekanan kali volume. Di atas, nilai p dan v telah dikalikan dan kesalahannya digabungkan dengan Aturan 1. Ada bentuk yang setara untuk perhitungan ini. Pertimbangkan data volume pertama:. Kesalahan berarti bahwa nilai sebenarnya diklaim oleh eksperimen untuk kemungkinan terletak antara 11,25 dan 11,31. Dengan demikian, semua tokoh penting dipresentasikan ke kanan 11,28 karena titik datanya benar-benar signifikan. Fungsi AdjustSignificantFigures akan mengatur volume data. Perhatikan bahwa secara default, AdjustSignificantFigures menggunakan dua digit paling signifikan dalam kesalahan untuk menyesuaikan nilainya. Ini bisa dikontrol dengan pilihan ErrorDigits. Untuk kebanyakan kasus, default dua digit masuk akal. Seperti yang dibahas pada Bagian 3.2.1, jika kita asumsikan distribusi normal untuk data, maka kesalahan pecahan dalam penentuan standar deviasi bergantung pada jumlah titik data yang digunakan dalam perhitungannya, n. Dan bisa dituliskan sebagai berikut. Jadi, dengan menggunakan ini sebagai aturan umum untuk semua kesalahan presisi, perkiraan kesalahan hanya bagus sampai 10, (yaitu satu angka signifikan, kecuali n lebih besar dari 51). Meskipun demikian, menjaga dua angka signifikan menangani kasus-kasus seperti 0,035 vs 0,030, di mana beberapa kemungkinan mungkin terkait dengan angka akhir. Anda harus sadar bahwa ketika sebuah datum dipijat oleh AdjustSignificantFigures. Digit tambahan dijatuhkan. Secara default, TimesWithError dan fungsi WithError lainnya menggunakan fungsi AdjustSignificantFigures. Penggunaan AdjustSignificantFigures dikendalikan menggunakan opsi UseSignificantFigures. Jumlah digit bisa disesuaikan. Untuk membentuk sebuah kekuatan, katakanlah, kita mungkin tergoda untuk melakukan saja. Alasan mengapa ini salah adalah bahwa kita mengasumsikan bahwa kesalahan dalam dua kuantitas digabungkan tidak bergantung satu sama lain. Di sini hanya ada satu variabel. Prosedur yang benar di sini diberikan oleh Aturan 3 seperti yang telah dibahas sebelumnya, yang kita tulis ulang. Ini diimplementasikan pada fungsi PowerWithError. Akhirnya, bayangkan bahwa untuk beberapa alasan kita ingin membentuk kombinasi. Kita mungkin tergoda untuk menyelesaikan hal ini dengan hal berikut. Sekali lagi, ini salah karena kedua istilah dalam pengurangan tidak independen. Sebenarnya, aturan umumnya adalah jika kesalahannya Berikut adalah contoh pemecahan pv - 4.9v. Kita akan menggunakan x dan y di bawah ini untuk menghindari menimpa simbol p dan v. Pertama, kita menghitung total turunannya. Selanjutnya kita membentuk kesalahan. Sekarang kita bisa mengevaluasi menggunakan data tekanan dan volume untuk mendapatkan daftar kesalahan. Selanjutnya kita membentuk daftar pasangan. Fungsi CombineWithError menggabungkan langkah-langkah ini dengan penyesuaian angka nominal yang signifikan. Fungsi ini bisa digunakan menggantikan fungsi WithError lainnya yang dibahas di atas. Dalam contoh ini, fungsi TimesWithError akan agak lebih cepat. Ada peringatan menggunakan CombineWithError. Ekspresi harus hanya berisi simbol, konstanta numerik, dan operasi aritmatika. Jika tidak, fungsinya tidak akan dapat mengambil turunan dari ekspresi yang diperlukan untuk menghitung bentuk kesalahan. Fungsi WithError lainnya tidak memiliki batasan seperti itu. 3.3.1.1 Pendekatan lain terhadap Error Propagation: Data dan Datum Constructs EDA menyediakan mekanisme lain untuk propagasi kesalahan. Dengan mendeklarasikan daftar pasangan menjadi tipe Data. Propagasi kesalahan ditangani secara otomatis. Pembungkus data bisa dilepas. Alasan mengapa output dari dua perintah sebelumnya telah diformat sebagai OutputForm adalah bahwa EDA mengeset pasangan menggunakan plusmn untuk output StandardForm. Pembuatan Datum yang serupa dapat digunakan dengan titik data individual. Sama seperti untuk Data. Standardform typesetting Datum menggunakan plusmn. Konstruksi Data dan Datum menyediakan propagasi kesalahan otomatis untuk perkalian, pembagian, penambahan, pengurangan, dan peningkatan daya. Keuntungan lain dari konstruksi ini adalah bahwa peraturan yang dibangun ke dalam EDA tahu bagaimana menggabungkan data dengan konstanta. Aturan juga tahu bagaimana menyebarkan kesalahan untuk banyak fungsi transendental. Aturan ini mengasumsikan bahwa kesalahannya kecil dibandingkan nilainya, jadi perkiraannya. Fungsi transendental, yang dapat menerima argumen Data atau Datum, diberikan oleh DataFunctions. Kita telah melihat bahwa EDA mengatur data dan Datum menggunakan plusmn. Fungsi PlusMinus dapat digunakan secara langsung, dan asalkan argumennya numerik, kesalahan akan disebarkan. Seseorang dapat mengatur plusmn ke dalam ekspresi masukan, dan kesalahan lagi akan disebarkan. Mekanisme masukan plusmn dapat menggabungkan istilah dengan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, meningkatkan ke kekuatan, penambahan dan perkalian dengan jumlah konstan, dan penggunaan DataFunctions. Aturan yang digunakan oleh EDA untuk plusmn hanya untuk argumen numerik. Hal ini membuat PlusMinus berbeda dengan Datum. 3.3.1.2 Mengapa Quadrature Di sini kita membenarkan menggabungkan kesalahan dalam kuadratur. Meskipun mereka bukan bukti dalam arti matematis biasa, mereka benar dan dapat dibuat dengan ketat jika diinginkan. Pertama, Anda mungkin sudah tahu tentang masalah Random Walk di mana pemain memulai pada titik x 0 dan pada setiap langkah bergerak maju ke arah (x) atau mundur (ke arah - x). Pilihan arah dibuat secara acak untuk setiap gerakan, katakanlah, membalik koin. Jika setiap langkah mencakup jarak L. Maka setelah n langkah jarak yang diharapkan kemungkinan pemain dari asal dapat ditunjukkan menjadi Jadi, jarak naik sebagai akar kuadrat dari jumlah langkah. Sekarang perhatikan situasi di mana n pengukuran kuantitas x dilakukan, masing-masing dengan kesalahan acak identik x. Kami menemukan jumlah pengukuran. Tapi jumlah kesalahannya sangat mirip dengan random walk: walaupun masing-masing error memiliki magnitudo x. Sama seperti x-x. Dan yang pada dasarnya acak. Dengan demikian, kemungkinan kesalahan yang paling mungkin terjadi dalam jumlah naik sebagai akar kuadrat dari jumlah pengukuran. This is exactly the result obtained by combining the errors in quadrature. Another similar way of thinking about the errors is that in an abstract linear error space, the errors span the space. If the errors are probabilistic and uncorrelated, the errors in fact are linearly independent (orthogonal) and thus form a basis for the space. Thus, we would expect that to add these independent random errors, we would have to use Pythagoras theorem, which is just combining them in quadrature. 3.3.2 Finding the Error in an Average The rules for propagation of errors, discussed in Section 3.3.1, allow one to find the error in an average or mean of a number of repeated measurements. Recall that to compute the average, first the sum of all the measurements is found, and the rule for addition of quantities allows the computation of the error in the sum. Next, the sum is divided by the number of measurements, and the rule for division of quantities allows the calculation of the error in the result ( i. e., the error of the mean). In the case that the error in each measurement has the same value, the result of applying these rules for propagation of errors can be summarized as a theorem. Theorem: If the measurement of a random variable x is repeated n times, and the random variable has standard deviation errx. then the standard deviation in the mean is errx . Proof: One makes n measurements, each with error errx . We calculate the sum. sumx x1 x2 . xn We calculate the error in the sum. This last line is the key: by repeating the measurements n times, the error in the sum only goes up as Sqrt n . The mean is given by the following. Applying the rule for division we get the following. This may be rewritten. This completes the proof. The quantity called is usually called the standard error of the sample mean (or the standard deviation of the sample mean). The theorem shows that repeating a measurement four times reduces the error by one-half, but to reduce the error by one-quarter the measurement must be repeated 16 times. Here is an example. In Section 3.2.1, 10 measurements of the diameter of a small cylinder were discussed. The mean of the measurements was 1.6514 cm and the standard deviation was 0.00185 cm. Now we can calculate the mean and its error, adjusted for significant figures. Note that presenting this result without significant figure adjustment makes no sense. The above number implies that there is meaning in the one-hundred-millionth part of a centimeter. Here is another example. Imagine you are weighing an object on a dial balance in which you turn a dial until the pointer balances, and then read the mass from the marking on the dial. You find m 26.10 plusmn 0.01 g. The 0.01 g is the reading error of the balance, and is about as good as you can read that particular piece of equipment. You remove the mass from the balance, put it back on, weigh it again, and get m 26.10 plusmn 0.01 g. You get a friend to try it and she gets the same result. You get another friend to weigh the mass and he also gets m 26.10 plusmn 0.01 g. So you have four measurements of the mass of the body, each with an identical result. Do you think the theorem applies in this case If yes, you would quote m 26.100 plusmn 0.01 Sqrt 4 26.100 plusmn 0.005 g. How about if you went out on the street and started bringing strangers in to repeat the measurement, each and every one of whom got m 26.10 plusmn 0.01 g. So after a few weeks, you have 10,000 identical measurements. Would the error in the mass, as measured on that 50 balance, really be the following The point is that these rules of statistics are only a rough guide and in a situation like this example where they probably dont apply, dont be afraid to ignore them and use your uncommon sense. In this example, presenting your result as m 26.10 plusmn 0.01 g is probably the reasonable thing to do. 3.4 Calibration, Accuracy, and Systematic Errors In Section 3.1.2, we made the distinction between errors of precision and accuracy by imagining that we had performed a timing measurement with a very precise pendulum clock, but had set its length wrong, leading to an inaccurate result. Here we discuss these types of errors of accuracy. To get some insight into how such a wrong length can arise, you may wish to try comparing the scales of two rulers made by different companies mdash discrepancies of 3 mm across 30 cm are common If we have access to a ruler we trust ( i. e., a calibration standard), we can use it to calibrate another ruler. One reasonable way to use the calibration is that if our instrument measures xO and the standard records xS . then we can multiply all readings of our instrument by xS xO . Since the correction is usually very small, it will practically never affect the error of precision, which is also small. Calibration standards are, almost by definition, too delicate andor expensive to use for direct measurement. Here is an example. We are measuring a voltage using an analog Philips multimeter, model PM240002. The result is 6.50 V, measured on the 10 V scale, and the reading error is decided on as 0.03 V, which is 0.5. Repeating the measurement gives identical results. It is calculated by the experimenter that the effect of the voltmeter on the circuit being measured is less than 0.003 and hence negligible. However, the manufacturer of the instrument only claims an accuracy of 3 of full scale (10 V), which here corresponds to 0.3 V. Now, what this claimed accuracy means is that the manufacturer of the instrument claims to control the tolerances of the components inside the box to the point where the value read on the meter will be within 3 times the scale of the actual value. Furthermore, this is not a random error a given meter will supposedly always read too high or too low when measurements are repeated on the same scale. Thus, repeating measurements will not reduce this error. A further problem with this accuracy is that while most good manufacturers (including Philips) tend to be quite conservative and give trustworthy specifications, there are some manufacturers who have the specifications written by the sales department instead of the engineering department. And even Philips cannot take into account that maybe the last person to use the meter dropped it. Nonetheless, in this case it is probably reasonable to accept the manufacturers claimed accuracy and take the measured voltage to be 6.5 plusmn 0.3 V. If you want or need to know the voltage better than that, there are two alternatives: use a better, more expensive voltmeter to take the measurement or calibrate the existing meter. Using a better voltmeter, of course, gives a better result. Say you used a Fluke 8000A digital multimeter and measured the voltage to be 6.63 V. However, youre still in the same position of having to accept the manufacturers claimed accuracy, in this case (0.1 of reading 1 digit) 0.02 V. To do better than this, you must use an even better voltmeter, which again requires accepting the accuracy of this even better instrument and so on, ad infinitum, until you run out of time, patience, or money. Say we decide instead to calibrate the Philips meter using the Fluke meter as the calibration standard. Such a procedure is usually justified only if a large number of measurements were performed with the Philips meter. Why spend half an hour calibrating the Philips meter for just one measurement when you could use the Fluke meter directly We measure four voltages using both the Philips and the Fluke meter. For the Philips instrument we are not interested in its accuracy, which is why we are calibrating the instrument. So we will use the reading error of the Philips instrument as the error in its measurements and the accuracy of the Fluke instrument as the error in its measurements. We form lists of the results of the measurements. We can examine the differences between the readings either by dividing the Fluke results by the Philips or by subtracting the two values. The second set of numbers is closer to the same value than the first set, so in this case adding a correction to the Philips measurement is perhaps more appropriate than multiplying by a correction. We form a new data set of format philips, cor2 . We can guess, then, that for a Philips measurement of 6.50 V the appropriate correction factor is 0.11 plusmn 0.04 V, where the estimated error is a guess based partly on a fear that the meters inaccuracy may not be as smooth as the four data points indicate. Thus, the corrected Philips reading can be calculated. (You may wish to know that all the numbers in this example are real data and that when the Philips meter read 6.50 V, the Fluke meter measured the voltage to be 6.63 plusmn 0.02 V.) Finally, a further subtlety: Ohms law states that the resistance R is related to the voltage V and the current I across the resistor according to the following equation. Imagine that we are trying to determine an unknown resistance using this law and are using the Philips meter to measure the voltage. Essentially the resistance is the slope of a graph of voltage versus current. If the Philips meter is systematically measuring all voltages too big by, say, 2, that systematic error of accuracy will have no effect on the slope and therefore will have no effect on the determination of the resistance R . So in this case and for this measurement, we may be quite justified in ignoring the inaccuracy of the voltmeter entirely and using the reading error to determine the uncertainty in the determination of R . 3.5 Summary of the Error Propagation Routines